程式競賽小技巧 - Binary Search

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最近在 Kaif 開了一個 程式競賽 區,打算在上面提一些我在競賽中學到的技巧, 不過既然我有一個很久沒動筆的 Blog,不如就直接寫在這裡,再把連結貼到 Kaif 吧。

Binary Search 在程式競賽中,指的不是用來檢查元素在 sorted list 中位置的方法, 而是一種解題技巧。適用 Binary Search 的題目,通常會有兩個特性:

  1. 目的是要求出某個變數 "滿足某個條件" 的最小值, 且變數超出此值後也都會繼續滿足此條件。

  2. 無法使用有效率的方法計算出答案,但只要給變數任意的值, 都能容易的判斷出是否滿足條件。

在針對整數域時,我的 code 會像是這樣:

int lower = 0;
int upper = 1000000;                    // 某個大到一定滿足條件的值
while (lower < upper) {
    int mid = (lower+upper)/2;
    boolean satisfied = check(mid);     // 將 mid 代入檢查是否滿足
    if (satified) upper = mid;
    else lower = mid+1;
}

離開 while 迴圈時,lower 會與 upper 相等,並且就是所求答案。

那麼在實數域會有什麼不同呢?這就是我覺得有意思的地方了。 由於浮點數精確度的關係,是有可能發生 mid 等於 lower 的情況,導致形成無窮迴圈。

好在我們知道比較浮點數應該要允許一點誤差。通常我的習慣是加上一個常數 Є,於是 code 會長這樣:

public static final double EPSILON = 1e-8;

while (lower+EPSILON < upper) {
    // ...
}

使用這個技巧,只要你選擇了 "適當" 的 Є,程式就會是可以正確運行的。 但什麼情況下會出問題呢?

當你的 lower 很大,而 Є 很小時,同樣有可能發生 lower+EPSILON==lower 的情況。

那有沒有更好的方法?看看以下的 code 吧。

double lower = 0.0;
double upper = 1e30;
for (int times=0; times<50; times++) {      // 注意這行
    double mid = (lower+upper)/2;
    boolean satisfied = check(mid);
    if (satisfied) upper = mid;
    else lower = mid;
}

結果就是什麼都不要管,固定跑個足夠次數就好。:p

我自己習慣跑 50 次,但也看過其他參賽者使用 40, 100, 200 次。

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